W świecie równań różnicowych: od dyskretyzacji równań całkowo-różnicowych do jakościowej teorii
Magdalena Nockowska-Rosiak
Instytut Matematyki, Politechniki Łódzkiej
Równania różnicowe i ich szeroka stosowalność wiąże się z faktem, że z numerycznego punktu widzenia, są one dyskretnym analogiem równań różniczkowych. Nie należy jednak zapominać, o czasami zaskakujących, różnicach pomiędzy procesami ciągłymi, a dyskretnymi. Ponadto, wiele zjawisk m. in. ekonomicznych jest, ze swej natury, opisywanych za pomocą modeli matematycznych wykorzystujących równania różnicowe. Z tego też powodu warto rozwijać jakościową teorię równań różnicowych. W referacie zostaną przedstawione wyniki badań wpisujące się w oba przedstawione podejścia.
Operatory całkowe Urysohna pojawiają się w wielu zastosowaniach poczynając od klasycznych sformułowań, w którym rozwiązania nieliniowych eliptycznych problemów brzegowych są punktami stałymi operatorów Urysohna aż do zastosowań w mechanice płynów, czy teoretycznej ekologii. Monotoniczna technika iteracyjna jest podstawowym podejściem do rozwiązywania nieliniowych równań zawierających operatory Urysohna. To podejście wymaga zachowania relacji porządku wyznaczonej przez stożek w przestrzeni stanów. Z tego powodu istotne jest, aby dostarczyć warunki na jądro operatora Urysohna gwarantujące monotoniczność. Naturalnym pytaniem jest, czy te warunki wystarczają, aby monotoniczność zachowała się przy dyskretyzacji oraz dla równań całkowo-różnicowych.
W drugim nurcie badań konstruowane są warunki dostateczne na to, aby rozwiązanie nieliniowego samosprzężonego równania różnicowego były aproksymowane przez rozwiązania niejednorodnego samosprzężonego liniowego równania różnicowego. Konstruowane warunki zależą w istotny sposób od miary aproksymacji , która określa stopień bliskości rozwiązań równania nieliniowego i liniowego. Wnioskiem z tych wyników są warunki dostateczne na nieoscylacyjność dyskretnego równania Sturma Louville’a.
Wykład odbędzie się 8 listopada 2022 o godzinie 17.00 przy użyciu komunikatora Zoom.