Ewa Ciechanowicz
Uniwersytet Szczeciński

Pośród równań różniczkowych zwyczajnych za szczególnie interesujące można uznać te, których struktura pozwala na rozszerzenie lokalnie istniejących rozwiązań do funkcji meromorficznych w całej płaszczyźnie zespolonej. Wiele własności związanych z tempem wzrostu i rozkładem wartości takich rozwiązań można wówczas wywnioskować na podstawie charakteru równania stosując np. metody teorii Nevanlinny.

Zgodnie z klasycznym twierdzeniem Malmquista, równania Riccatiego są jedynymi równaniami (prócz liniowych) postaci z wyrażeniem R(z, f) wymiernym zarówno względem z jak i f, które mogą posiadać przestępne rozwiązanie meromorficzne. W latach 1970-tych Laine pokazał nieco ogólniejszą własność, że równania postaci , gdzie R(f, z) oznacza tu funkcję wymierną względem f o meromorficznych współczynnikach, ma meromorficzne rozwiązania dopuszczalne jedynie w przypadku, gdy mamy do czynienia z uogólnionym równaniem Riccatiego. Termin „rozwiązania dopuszczalne” jest rozumiany jako rozwiązania o relatywnie dużym tempie wzrostu w odniesieniu do współczynników równania.

Analiza podobnego zagadnienia dla równań drugiego rzędu doprowadziła do opisania tak zwanych równań Painlevé, spośród których szczególnym zainteresowaniem cieszy się sześć równań oznaczanych w literaturze symbolami P₁, P₂, …, P₆. W przypadku równań P₁, P₂ oraz P₄ wszystkie ich rozwiązania są funkcjami meromorficznymi.

Przedmiotem wykładu będą własności meromorficzych rozwiązań równań Riccatiego, równań P₁, P₂ i P₄ Painlevé oraz powiązanych z nimi strukturą hamiltonowską tak zwanych σ-równań. Omawiane będą zarówno rząd wzrostu, jak i parametry związane z rozkładem wartości takie, jak krotność zer czy istnienie wartości defektywnych.

Wykład odbędzie się 8 grudnia 2020 o godzinie 17.00 przy użyciu komunikatora Zoom.